UNIDAD I

PRIMERA UNIDAD

RELACIONES Y FUNCIONES

Hay casos en que no todos los pares ordenados de un producto cartesiano de dos conjuntos responden a una condición dada. Se llama relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B. Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen tres propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación: propiedad reflexiva, simétrica y transitiva. ejercicio  Se llama función a una relación en la cual a cada elemento del conjunto de partida le corresponde sólo un elemento del conjunto de llegada. DESIGUALDADES DE SIGNOS una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando éstos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad). Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados. ejercicios  La notación a < b significa a es menor que b; La notación a > b significa a es mayor que b estas relaciones se conocen como 'desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que". La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b; La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b; estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas). La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b; La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud. La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables. EJEMPLO FUNCIÓN CÓNCAVA Y CONVEXA Formalmente, una función real f definida en un intervalo (o en cualquier conjunto convexo C de algún espacio vectorial) se dice que es cóncava, si para dos puntos x e y cualesquiera definidas en su dominio C, y para cualquier t en [0,1], se cumple $$ f ( t x + ( 1 − t ) y ) ≥ t f ( x ) + ( 1 − t ) f ( y ) . {\displaystyle f(tx+(1-t)y)\geq tf(x)+(1-t)f(y).} Además, f(x) es cóncavo en [a, b] si y sólo si la función −f(x) es convexa en [a, b]. Una función que es cóncava es a menudo también llamada cóncava hacia abajo, mientras que una función convexa es llamada cóncava hacia arriba. Una función es estrictamente cóncava si f ( t x + ( 1 − t ) y ) > t f ( x ) + ( 1 − t ) f ( y ) {\displaystyle f(tx+(1-t)y)>tf(x)+(1-t)f(y)\,} para cualquier t en (0,1) y x ≠ y. Una función continua en C es cóncava si y sólo si $$ f ( x + y 2 ) ≥ f ( x ) + f ( y ) 2 {\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}} . para cualquier x e y en C. Una función diferenciable f es cóncava en un intervalo si su derivada f ′ es monótonamente decreciente en ese intervalo: una función cóncava posee una pendiente negativa o decreciente. (entendiendo por "decreciente" aquí a que es "no-creciente", en lugar de "estrictamente decreciente"; es decir, se permite la pendiente cero). FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Función creciente y Función decreciente · Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1  y x2, con la condición x1 £x2, se verifica que  f( x1 ) < f( x2 ). Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2). · Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1  y x2, que cumplan x1 £ x2, entonces f(x1 ) ³ f(x2 ). Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la función se dice estrictamente decreciente. FUNC. CREC. Y DECREC. EN PUNTO · Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto f(x) £ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a, a + e). · Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e) en el que f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y f(x) £ f(a) si x pertenece a (a, a + e). La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo £ por < y el ³ por el >. Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto. 1er examen parcial